Matemātikai ir izšķiroša loma uzvedības un darba izpratnē elektriskā un elektroniskās sistēmas . Polinomi, algebra, varbūtība, integrācijas un diferenciācijas utt. ... veido nozīmīgu daļu no instrumentiem, ko izmanto sistēmu risināšanai. Pieaugot sistēmu sarežģītībai, ir nepieciešamas ļoti sarežģītas metodes. Diferenciālvienādojumi tiek skaidri izmantoti vadības sistēmu definēšanai. Šos vienādojumus ir viegli atrisināt. Bet sarežģītība rodas, risinot augstākas pakāpes diferenciālvienādojumus. Lai atrisinātu šādus sarežģītus augstākas pakāpes diferenciālvienādojumus, matemātiskā metode, kas izrādījās efektīva, ir Laplasa pārveidošana . Tā kā šī transformācija tiek plaši izmantota, ir lietderīgi uzzināt, kam viņi īsti domāja un kā viņi darbojas.

Kas ir Laplasa transformācija?

Matemātikā tiek izmantotas transformācijas, lai mainīgo mainītu no vienas formas uz otru, lai vienādojumu būtu viegli apstrādāt. Laplace pārveidojas diezgan daudz dara to pašu. Viņi pārveido augstākas pakāpes diferenciālvienādojumu polinoma formā, kas ir daudz vienkāršāk nekā tieši atrisināt diferenciālvienādojumu.

Bet ir dažādas transformācijas, piemēram, Furjē transformācija, z pārveido to, kas padara Laplasa transformāciju īpašu? Galvenā Laplasa transformācijas priekšrocība ir tā, ka tie ir definēti gan stabilām, gan nestabilām sistēmām, turpretim Furjē transformācijas ir definētas tikai stabilām sistēmām.

Laplasa pārveidošanas formula

Funkcijas f (t) Laplasa transformācija laika domēnā, kur t ir reālais skaitlis, kas ir lielāks vai vienāds ar nulli, tiek dots kā F (s), kur s ir kompleksais skaitlis frekvenču apgabalā, t.i. s = σ + jω
Iepriekš minētais vienādojums tiek uzskatīts par vienpusējs Laplasa transformācijas vienādojums . Kad robežas tiek attiecinātas uz visu reālo asi, tad Divpusēja Laplasa transformācija var definēt kā
Praktiskajās shēmās, piemēram RC un RL shēmas parasti tiek izmantoti sākotnējie nosacījumi, tāpēc analīzes nolūkos tiek izmantotas vienpusējas Laplasa transformācijas.
Tā kā s = σ + jω, kad σ = 0, Laplasa transformācijas uzvedas kā Furjē transformācija.

“ko dara vadības bloks ”

Laplasa pārveidošanas formulas

Laplasa transformācijas piemērošanas nosacījumi

Laplasa transformācijas sauc par integrālām transformācijām, tāpēc ir nepieciešami nosacījumi šo transformāciju konverģencei.
i., f jābūt lokāli integrējamam intervālam [0, and) un atkarībā no tā, vai σ ir pozitīvs vai negatīvs, e ^ (- σt) var sabrukt vai augt. Divpusējām Laplasa transformācijām, nevis vienai vērtībai, integrālis saplūst noteiktā vērtību diapazonā, kas pazīstams kā konverģences reģions.

Laplasa transformācijas īpašības:

Linearitāte

Laika nobīde

Shift S domēnā

Laika maiņa

Diferencēšana S domēnā

Konversija laikā

Sākotnējās vērtības teorēma

Sākotnējās vērtības teorēma tiek lietota, kad Laplace transformācijā skaitītāja pakāpe ir mazāka par saucēja pakāpi Galīgās vērtības teorēma:

“šķērslis, lai izvairītos no robota, izmantojot ultraskaņas sensoru arduino ”

Ja visi sF (-u) poli atrodas S-plaknes galīgās vērtības teorēmas kreisajā pusē.

Apgrieztā Laplasa pārveidošana

Konverģences dēļ Laplasa transformācijai ir arī apgrieztā transformācija. Laplasa transformācijās attēlots viens pret vienu kartējums no vienas funkciju telpas uz otru. Apgrieztās Laplasa transformācijas formula ir

Kā aprēķināt Laplasa transformāciju?

Laplasa transformācija padara vienādojumus vienkāršāk apstrādājamus. Kad tiek dots augstākas pakāpes diferenciālvienādojums, tam tiek piemērots Laplasa pārveidojums, kas pārveido vienādojumu par algebrisko vienādojumu, tādējādi atvieglojot tā apstrādi. Pēc tam mēs aprēķinām saknes, vienkāršojot šo algebrisko vienādojumu. Tagad tiek atrasta vienkāršākas izteiksmes inversā Laplasa transformācija, kas atrisina doto augstākās pakāpes diferenciālvienādojumu.

Laplasa transformācijas aprēķins

Laplasa transformācijas lietojumi

Elektrisko un elektroniskās shēmas .
Sarežģītu diferenciālvienādojumu sadalīšana vienkāršākās polinomu formās.
Laplasa transformācija sniedz informāciju par vienmērīgiem, kā arī pārejošiem stāvokļiem.
Mašīnmācībā Laplasa transformāciju izmanto, lai veiktu prognozes un veiktu analīzi datu ieguvē.
Laplasa transformācija vienkāršo aprēķinus sistēmas modelēšanā.

Laplasa transformācijas pielietošana signālu apstrādē

Signāla apstrādei bieži izvēlas Laplasa transformācijas. Kopā ar Furjē pārveidojumu Laplasa transformācija tiek izmantots signālu pētīšanai frekvenču jomā. Ja frekvenču jomā signālā ir mazas frekvences, var sagaidīt, ka signāls laika zonā būs vienmērīgs. Signāla filtrēšana parasti tiek veikta frekvenču apgabalā, kuram Laplass darbojas kā svarīgs rīks signāla pārveidošanai no laika domēna uz frekvences domēnu.

Laplasa transformācijas pielietošana vadības sistēmās

Vadības sistēmas parasti ir paredzētas citu ierīču uzvedības kontrolei. Piemērs vadības sistēmas var būt no vienkārša mājas apkures regulatora līdz rūpnieciskai vadības sistēmai, kas regulē mašīnu uzvedību.

Parasti vadības inženieri izmanto diferenciālvienādojumus, lai aprakstītu dažādu slēgto loku funkcionālo bloku darbību. Laplasa transformāciju šeit izmanto, lai atrisinātu šos vienādojumus, nezaudējot būtisko mainīgo informāciju.

Lineāro laika nemainīgo sistēmu raksturojums, izmantojot Laplasa transformāciju

Gadījuma sistēmas ROC, kas saistīta ar sistēmu, funkcija ir labā pusplakne. Sistēma ir anti-gadījuma, ja tās impulsa reakcija h (t) = 0, ja t> 0.

Ja sistēmas funkciju ROC H (s) ietver jω asi, tad L.T.I. sistēmu sauc par stabilu sistēmu. Ja gadījuma sistēmai ar racionālām sistēmas funkcijām H (s) ir negatīvas reālās daļas visiem tās poliem, tad sistēma ir stabila.

Tādējādi Laplasa transformācija ir izšķirošs instruments ķēžu analīzē. Mēs varam teikt, ka stetoskops ir ārsts, Laplasa pārveidojumi ir vadības inženieris. Par ko, jūsuprāt, Laplasa pārveidojas? Kādā veidā tie jums bija noderīgi?